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甘肃省张掖市2016届高三下学期第三次诊断考试数学(理)试题及答案

2016-04-27 09:47 互联网

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数

的共轭复数对应的点在复平面内位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.若α∈R,则“α=0”是“sin α《cos α”的 (  )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.设

为等差数列

项和,若

,则该数列的首项

等于( )

A.

B.

C.

D.

4. 某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的N =5,则输出i =( )

A.6 B.7 C.8 D.9

5.双曲线

的渐近线与圆

相切,则正实数a的值为 ( )

A.

B.

C.

D.

#p#分页标题#e#

6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点,

则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(-1,1)

的密度曲线)的点的个数的估计值为( )

A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413

7.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为( )

A.16

B.4

C.8

D.2

8.已知

,函数

上单调递增,则

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

9.在

中,

,点

上且满足

,则

#p#分页标题#e#

等于( )

A.

B.

C.

D.

10.已知二次函数

的导数

,且

的值域为

,则

的最小值为( ) A.3 B.

C.2 D.

11.已知椭圆

的左、右焦点分别为

,若椭圆上存在点P使

,则该椭圆的离心率的取值范围为( )

A.(0,

B.(

) C.(0,

) D.(

,1)

12.已知函数

#p#分页标题#e#

图象上存在关于

轴对称的点,则

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13.二项式

的展开式中常数项为 .

14.若变量x,y满足约束条件

且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是 。

15.我们知道,在边长为

的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

,类比上述结论,在棱长为

的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,此定值为 。

16.设数列

满足

=2,

#p#分页标题#e#

若表示不超过x的最大整数,则

==

三、解答题:本大题共6小题, 共70分, 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

设函数

(Ⅰ)若

,求

的单调递增区间;

(Ⅱ)在锐角

中,角

的对边分别为

,若

,求

面积的最大值.

18.(本小题满分12分)

某超市从2016年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按,(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下:

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.

(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的

的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为

,试比较

#p#分页标题#e#

的大小;(只需写出结论);

(Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;

(Ⅲ)设

表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求

的数学期望.

19.(本小题满分12分)

在直三棱柱

中,

,∠ACB=90°,M是

的中点,N是

的中点。

(Ⅰ)求证:MN∥平面

(Ⅱ)求点

到平面BMC的距离;

(Ⅲ)求二面角

的平面角的余弦值大小。

20.(本小题满分12分)

设抛物线C的方程为x2 =4y,M为直线l:y=-m(m》0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.

(Ⅰ)当M的坐标为(0,-l)时,求过M,A,B三点的圆的标准方程,并判断直线l与此圆的位置关系;

(Ⅱ)当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使MA ⊥MB?若存在,有几个这样的点,若不存在,请说明理由。

21.(本小题满分12分)

设函数

(Ⅰ)当

时,讨论

#p#分页标题#e#

的单调性;

(Ⅱ)当

时,设

处取得最小值,求证:

22.。选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)

如图,

是圆

的直径,

是弦,

的平分线

交圆

于点

,交

的延长线于点

于点

#p#分页标题#e#

(Ⅰ)求证:

是圆

的切线;

(Ⅱ)若

,求

的值.

23.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)

选做题:在直角坐标系

中,曲线

的参数方程为

是参数),以原点

为极点,

轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

的极坐标方程为

(Ⅰ)求曲线

的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;

(Ⅱ)若曲线

与曲线

交于

#p#分页标题#e#

两点,求

的最大值和最小值.

24.选修4—5:不等式选讲(本小题满分10分)

已知函数

,且

的解集为

(Ⅰ) 求

的值;

(Ⅱ) 设a,b,c为正数,且a+b+4c=m没,求++的最大值.

高三数学(理科)答案

一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)

题号123456789101112

答案AADACBBDDCDB

11.【解析】根据正弦定理得

,所以由

可得

,即

,所以

,又

,即

,因为

,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以

#p#分页标题#e#

,即

,所以

,即

,所以

,解得

,即

,选D.

12 B

法一由题意存在

满足

因为

在定义域内都是单调递增的

所以

在定义域内都是单调递增的,

又因为x趋近于

时函数h(x)《0且

上有解

时,当

#p#分页标题#e#

趋近于

时,

趋近于

,所以符合题意。

时,

综上

,故选B.

【考点定位】指对数函数 方程 单调性

法二由题意存在

满足

,分别作出

的图像,利于图像数形结合可得

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13. 7 ; 14. 24 ; 15.

; 16. 2015.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共6题,共70分)

17.(第1问6分,第2问6分)

解:(1)由题意可知,

由余弦定理

#p#分页标题#e#

,可得:

,即

,且当

时等号成立,因此

,所以

面积的最大值为

18解:(Ⅰ)

; ………………2分

。 ………………4分

(Ⅱ)设事件

:在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱;

事件

:在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱;

事件

:在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱。 则

。 …………6分

所以

。 …………8分

(Ⅲ)由题意可知,

的可能取值为0,1,2,3. …………9分#p#分页标题#e#

所以

的分布列为

0123

0.3430.4410.1890.027

…11分

所以

的数学期望

……12分

另解:由题意可知

所以

的数学期望

19.【答案】(Ⅰ)如图所示,取B1C1中点D,连结ND、A1D

∴DN∥BB1∥AA1

又DN=

∴四边形A1MND为平行四边形。

∴MN∥A1 D 又 MN

平面A1B1C1 AD1

平面A1B1C1

∴MN∥平面#p#分页标题#e#

--------------------4分

(Ⅱ)因三棱柱

为直三棱柱, ∴C1 C ⊥BC,又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1

在平面ACC1 A1中,过C1作C1H⊥CM,又BC⊥C1H,故C1H为C1点到平面BMC的距离。在等腰三角形CMC1中,C1 C=2

,CM=C1M=

。--------------------------8分

(Ⅲ)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E,A1C1于点F,

则CE为BE在平面ACC1A1上的射影,

∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,

在等腰三角形CMC1中,CE=C1H=

,∴tan∠BEC=

∴ cos∠BEC=

二面角

的平面角与∠BEC互补,所以二面角

的余弦值为

--------------------12分

法2:(Ⅰ)同上。如图所示建系,

(Ⅱ)可得,

,设

是平面BMC的法向量,C1点到平面BMC的距离h。#p#分页标题#e#

可求得一个法向量为

(Ⅲ)可知

是平面

的法向量,设

平面

的法向量,求得一个法向量

是为二面角

的平面角,则

,又因为二面角

的平面角是钝角,所以

20.【答案】解:(Ⅰ)当M的坐标为

时,

设过M点的切线方程为

,代入

,整理得

#p#分页标题#e#

,①

,解得

代入方程①得

,故得

因为M到AB的中点(0,1)的距离为2,

从而过

三点的圆的标准方程为

易知此圆与直线l:y=-1相切。 ………………………………………………………(6分)

(Ⅱ)设切点分别为

,直线l上的点为M

过抛物线上点

的切线方程为

,因为

从而过抛物线上点

的切线方程为

#p#分页标题#e#

,又切线过点

所以得

,即

同理可得过点

的切线方程为

,………………………(8分)

因为

是方程

的两实根,

从而,

所以

,即

时,

直线

上任意一点M均有MA⊥MB,…………………………………………………(10分)

,即m≠1时,MA与MB不垂直。

综上所述,当m =1时,直线

#p#分页标题#e#

上存在无穷多个点M,使MA⊥MB,当m≠1时,直线l

上不存在满足条件的点M.……………………………………………………………(12分)

21试题解析:(Ⅰ)当

时,

因为

单调递增,

单调递增,所以

单调递增,

,因此当

时,

;当

时,

单调递减,在

单调递增………………4分

(Ⅱ)当

时,

#p#分页标题#e#

,因为

单调递增,

单调递增,所以

单调递增.又

,…6分

满足

时,

,故

存在唯一零点,设零点为

时,

;当

时,

.故

单调递减,在

#p#分页标题#e#

单调递增,所以当

时,

取得最小值,由条件可得

的最小值为

. ………8分

由于

,所以

………10分

,得

;令

,得

单调递增,

单调递减,

#p#分页标题#e#

.…………12分

考点:1.含参函数的单调性;2.用导数知识研究函数零点问题.

22【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

【解析】

试题分析:(Ⅰ)连接

,易证得

,从而由已知条件垂直关系可证得

,进而使问题得证;(Ⅱ)过

于点

,连接

,求出

的值,通过

求出比值.

试题解析:(1)连接

,可得

,∴

#p#分页标题#e#

,∴

,又

为半径,∴

是圆

的切线.

(Ⅱ)过

于点

,连接

,则有

,则

,∴

可得

,又由

,可得

考点:1.切线的性质;2、比例线段.

23.【答案】(Ⅰ)曲线

的直角坐标方程为

,其表示一个圆;(Ⅱ)最小值为

,最大值为

#p#分页标题#e#

【解析】

试题分析:(Ⅰ)利用

可将

的极坐标方程化为相应直角方程,即可求解;(Ⅱ)联立

的方程,将

表示为相应的函数关系式,从而求解.

试题解析:(1)对于曲线

,即

,因此曲线

的直角坐标方程为

,其表示一个圆;(2)联立曲线

与曲线

的方程可得:

,因此

的最小值为

,最大值为

考点:1.极坐标方程与直角坐标方程的相互转化;2.直线与圆的位置关系

24.【答案】(1)

#p#分页标题#e#

;(2)9.

(1)因为

等价于

,且其解集为

又因

的解集为

,故m=1……………………。.5

(2) 设a,b,c为正数,且a+b+4c=m没,求++的最大值.

解:由(1)得a+b+4c=1

由柯西不等式得(++)2≤22·=25, ∴++≤210. 故++的最大值是210………….5

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